NUMEROS REALES
Los números reales (R) se definen de manera axiomática como el conjunto de números que se encuentran en correspondencia biunívoca con los puntos de una recta infinita: la recta numérica
CLASIFICACION:
Se llama número racional (Q) o fracción común, a todo número que puede representarse
Los números enteros (Z) son una generalización
Un número natural (N) es cualquiera de los números: 0, 1, 2, 3... (o el mismo conjunto excluyendo el 0 según qué autores se consulten), que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.
El cero (0) pertenece al conjunto de los números enteros mayor que -1 e inferior a 1. Algunos matemáticos lo consideran perteneciente al conjunto de los naturales
Fraccionarios (W) : Es una cantidad dividida por otra. Son el cociente indicado de dos numeros enteros que se llaman numerador a y denominador b.
PROPIEDADES :
Axioma 1 Cerradura. Si a y b están en R entonces a+b y a.b son números determinados en forma única que están también en R.
Axioma 2 Propiedad Conmutativa (Suma y Multiplicación). Si a y b están en R entonces a+b = b+a y a.b = b.a.
Axioma 3 Propiedad Asociativa. (Suma y Multiplicación) Si a, b y c están en R entonces a+(b+c) = (a+b)+c y a.(b.c) = (a.b).c.
Axioma 4 Propiedad Distributiva. Si a, b y c están en R entonces a.(b+c) = ab+ac.
Axioma 5 Existencia de Elementos neutros. R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0 = a, a.1 = a para a que pertenece a los reales.
Axioma 6 Elementos inversos. Si a está en R entonces existe un (-a) en R tal que a + (-a) = 0 Si a está en R y a diferente de 0 entonces existe un elemento 1/a en R tal que a.1/a = 1.
Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron inventados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, y no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó soluciones negativas para las ecuaciones porque lo consideraba irreal. En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.
En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia no de manera espontánea, sino echando mano de todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass, por mencionar sólo a los más sobresalientes.
En la actualidad, solamente los especialistas conocen con profundidad alguna o ambas teorías en relación a la construcción total de los números reales, lo cual no nos impide el trabajo con ellos.
El descubrimiento de los números irracionales se le atribuye a Hipaso de Metaponto, que fue un discípulo de Pitágoras. Demostró que la raiz de 2 es un número irracional. Sin embargo, Pitágoras consideraba que la raiz del número 2 "ensuciaba" la perfección de los números, y que por tanto no podría existir, por lo que intentó rebatir los argumentos de Hipaso con la lógica, por lo que le expulsaron de
A partir de ahí, los números irracionales entrarían en un periodo de oscuridad, hasta que volvieran a ser estudiados por los griegos gracias aEuxodo de Cnido. El décimo libro de la serie Los elementos de Euclides está dedicado a la clasificación de los números irracionales.
Bibliografia
www.wikipedia.com
www.mitecnologico.com
1 comentario:
ok revisado.
Atte. prof. ma alegria b.
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