Desigualdades, teoremas e intervalos

DESIGUALDADES

Una desigualdad matemática es una expresión matemática en la que ambos miembros no son equivalentes entre sí (lo contrario a lo que ocurre en una igualdad.

En la desigualdad, los términos están relacionados por un símbolo de "es mayor que" o "es menor que". El primero es > y el segundo <. También existen otros derivados de estos dos. Si alguno de estos dos símbolos aparece acompañado por una línea horizontal por debajo, significa "mayor o igual que" o "menor o igual que", respectivamente. Un ejemplo de una desigualdad es: 2x + 7 < st="on">como "2 x más 7 es menor que 19". Y representa al conjunto de números para el que esta expresión es verdadera.

TEOREMAS

Teorema 1: propiedad transitiva
(a,b,c,) є R
Si a > b y b > c entonces a > c

Teorema 2: Suma
(a,b,c,) є R
Si a > b , entonces a + c > b + c

Teorema 3: Multiplicacion por un numero positivo
Si a > b y c > 0, entonces ac > bc

Teorema 4:
(a, b, c ,d) є R
Si a > b y c > d entonces
(a + c) > (b + d )

Teorema 5:
a єR
a > 0 si, y solamente si, -a <>

Teorema 6:
(a, b) єR
a > b si, solamente si, -a < -b
“Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad
Se cambia el sentido de la desigualdad “

Teorema 7:
Si a > b y c > 0 entonces
ac > bc

Teorema 8:
Si a ≠ 0 entonces
a > 0

Teorema 9:
a > 0 si, y solamente si, 1/a > 0

Teorema 10:
Si a > b y c > 0, entonces a/c > b/c

Teorema 11:
Si a > b y c > 0, entonces a/c <>
Si a <>

INTERVALOS

Los intervalos son los subconjuntos conexos de la recta numérica.

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados y semi abiertos) o según su características métricas (su longitud: nula, finita no nula, o infinita). Es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de una recta o segmento, el que se encuentra un ordenamiento interno entre ellos. Los intervalos es el espacio que se da de un punto a otro en el cual se toman en cuenta todos lo puntos intermedios.

Un intervalo abierto, es un intervalo que no incluye el punto, de uno o ambos extremos.

Se utiliza la notación ]a,b[ o (a,b) cuando un intervalo es abierto en ambos extremos, (a,b] (o ]a,b]) cuando el intervalo es abierto en el extremo izquierdo, [a,b) (o [a,b[ ) si es abierto en el extremo derecho .

Un intervalo cerrado es el conjunto que contiene en sí sus puntos extremos y todos los números apropiados. Un intervalo cerrado entre dos números a y b se escribe como [a, b], utilizando corchetes cuadrados.

Intervalo semiabierto.- Este intervalo semiabierto por la derecha denotado por [ a, b ) es el conjunto de todos los números reales por tales que: a £ x <>

Intervalo semiabierto o semicerrado. Es aquél intervalo que sólo incluye a uno de sus límites.

TAREA (repaso 28/08/08)

A que propiedad corresponden las expresiones?

EXPRESIONES PROPIEDAD

1) (-2)+(2)=0 Inversa

2) 3(√5 + 1 ) = ( √5 + 1 ) 3 Conmutativa

3) √13 + 0 = √13 Identidad

4) Si x = √3 entonces √3 = x Igualdad, reprocidad

5) √2 = √2 Identidad, (reflexiva a ≤ a

6) (x + 2y) + 7 = 7 + (x + 2y) Conmutativa

Expresar los siguientes numeros como racional, entero, decimal; si es posible

a) 0.444
Si x = 0.444
10x = 4.44
- x = .44
9x= 4
X= 4/9

b) 0.505050
Si x =. 505050
100x = 50.50
- x = .5050
99x = 50
x = 50/99

c) 5.818181
Si x = 5.818181
100x = 581.81
- x = 5.81
99x = 576
x = 576/99 = 192/33 = 64/11

d) 3.023023
Si x = 3.023023
1000x= 3023.02
- x = 3.02302
999x =3020
x =3020/999

e) 1/8 = 0.125

f) 15/23 = 0.652173913

g) √2= 1.4142 irracional

h) π=3.141592... irracional

NUMEROS REALES

NUMEROS REALES

Los números reales (R) se definen de manera axiomática como el conjunto de números que se encuentran en correspondencia biunívoca con los puntos de una recta infinita: la recta numérica . El conjunto de los números reales se simboliza con la letra R. El nombre de número real se propuso como antónimo de número imaginario.

CLASIFICACION:

Se llama número racional (Q) o fracción común, a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero. En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada.

Los números enteros (Z) son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural). Los enteros se representan gráficamente en la recta de números enteros como puntos a un mismo espacio entre sí desde menos infinito, ..., -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3,... hasta más infinito: los números enteros no tienen principio ni fin.

Un número natural (N) es cualquiera de los números: 0, 1, 2, 3... (o el mismo conjunto excluyendo el 0 según qué autores se consulten), que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.

El conjunto de números negativos (M) está incluido dentro de los números enteros. Un número real n es negativo si es menor que 0. Sin embargo, algunos textos dicen que n es negativo cuando es menor o igual que 0, para introducir el término de "estrictamente negativo", que excluiría el caso "n igual a 0".

El cero (0) pertenece al conjunto de los números enteros mayor que -1 e inferior a 1. Algunos matemáticos lo consideran perteneciente al conjunto de los naturales ya que estos también se pueden definir como el conjunto que nos permite contar el número de elementos que contienen los demás conjuntos, y el conjunto vacío tiene cero elementos. El número 0 se puede representar como cualquier número menos él mismo, o más su opuesto: X − X = 0

Fraccionarios (W) : Es una cantidad dividida por otra. Son el cociente indicado de dos numeros enteros que se llaman numerador a y denominador b.

Numeros irracionales (Q'): Es cualquier numero real que no es racional, es decir, es un numero que no puede ser expresado.

PROPIEDADES :

Conmutativa. También llamada propiedad de orden de la suma. Esta propiedad significa que los sumandos se pueden sumar en cualquier orden y que la suma siempre es la misma.

Asociativa. Propiedad que establece que cuando se suman tres o más números reales, la suma siempre es la misma independientemente de su agrupamiento.

Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma es aquella por la que la suma de dos o más números, multiplicada por otro número, es igual a la suma del producto de cada número con éste último.

mitecnologico:

Axioma 1 Cerradura. Si a y b están en R entonces a+b y a.b son números determinados en forma única que están también en R.

Axioma 2 Propiedad Conmutativa (Suma y Multiplicación). Si a y b están en R entonces a+b = b+a y a.b = b.a.

Axioma 3 Propiedad Asociativa. (Suma y Multiplicación) Si a, b y c están en R entonces a+(b+c) = (a+b)+c y a.(b.c) = (a.b).c.

Axioma 4 Propiedad Distributiva. Si a, b y c están en R entonces a.(b+c) = ab+ac.

Axioma 5 Existencia de Elementos neutros. R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0 = a, a.1 = a para a que pertenece a los reales.

Axioma 6 Elementos inversos. Si a está en R entonces existe un (-a) en R tal que a + (-a) = 0 Si a está en R y a diferente de 0 entonces existe un elemento 1/a en R tal que a.1/a = 1.

HISTORIA

Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron inventados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, y no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó soluciones negativas para las ecuaciones porque lo consideraba irreal. En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.

En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia no de manera espontánea, sino echando mano de todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass, por mencionar sólo a los más sobresalientes.

En la actualidad, solamente los especialistas conocen con profundidad alguna o ambas teorías en relación a la construcción total de los números reales, lo cual no nos impide el trabajo con ellos.

El descubrimiento de los números irracionales se le atribuye a Hipaso de Metaponto, que fue un discípulo de Pitágoras. Demostró que la raiz de 2 es un número irracional. Sin embargo, Pitágoras consideraba que la raiz del número 2 "ensuciaba" la perfección de los números, y que por tanto no podría existir, por lo que intentó rebatir los argumentos de Hipaso con la lógica, por lo que le expulsaron de la Escuela Pitagorica y erigieron una tumba con su nombre, mostrando así que para ellos, él estaba muerto.

A partir de ahí, los números irracionales entrarían en un periodo de oscuridad, hasta que volvieran a ser estudiados por los griegos gracias aEuxodo de Cnido. El décimo libro de la serie Los elementos de Euclides está dedicado a la clasificación de los números irracionales.

Bibliografia

www.wikipedia.com
www.mitecnologico.com